\(\int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx\) [318]

Optimal result

Integrand size = 25, antiderivative size = 75 \[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=-\frac {\operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},1,1+n,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n \tan (e+f x)}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \]

[Out]

-AppellF1(n,1,1/2,1+n,-sec(f*x+e),sec(f*x+e))*(d*sec(f*x+e))^n*tan(f*x+e)/f/n/(1-sec(f*x+e))^(1/2)/(a+a*sec(f*
x+e))^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.16 (sec) , antiderivative size = 75, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 3, number of rules used = 3, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.120, Rules used = {3913, 3912, 138} \[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=-\frac {\tan (e+f x) \operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},1,n+1,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {a \sec (e+f x)+a}} \]

[In]

Int[(d*Sec[e + f*x])^n/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]],x]

[Out]

-((AppellF1[n, 1/2, 1, 1 + n, Sec[e + f*x], -Sec[e + f*x]]*(d*Sec[e + f*x])^n*Tan[e + f*x])/(f*n*Sqrt[1 - Sec[
e + f*x]]*Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]]))

Rule 138

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^n*e^p*((b*x)^(m +
1)/(b*(m + 1)))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*(x/c), (-f)*(x/e)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rule 3912

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[a^2*d
*(Cot[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]])), Subst[Int[(d*x)^(n - 1)*((a + b*x)^(m -
1/2)/Sqrt[a - b*x]), x], x, Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !In
tegerQ[m] && GtQ[a, 0]

Rule 3913

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_.)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[a^Int
Part[m]*((a + b*Csc[e + f*x])^FracPart[m]/(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])^FracPart[m]), Int[(1 + (b/a)*Csc[e + f*x])^
m*(d*Csc[e + f*x])^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] &&  !GtQ
[a, 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\sqrt {1+\sec (e+f x)} \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {1+\sec (e+f x)}} \, dx}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \\ & = -\frac {(d \tan (e+f x)) \text {Subst}\left (\int \frac {(d x)^{-1+n}}{\sqrt {1-x} (1+x)} \, dx,x,\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \\ & = -\frac {\operatorname {AppellF1}\left (n,\frac {1}{2},1,1+n,\sec (e+f x),-\sec (e+f x)\right ) (d \sec (e+f x))^n \tan (e+f x)}{f n \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(2977\) vs. \(2(75)=150\).

Time = 6.23 (sec) , antiderivative size = 2977, normalized size of antiderivative = 39.69 \[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[(d*Sec[e + f*x])^n/Sqrt[a + a*Sec[e + f*x]],x]

[Out]

(3*Sqrt[2]*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n
*Sec[e + f*x]^(-1/2 - n + (-1 + 2*n)/2)*(d*Sec[e + f*x])^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e
+ f*x]]*Tan[(e + f*x)/2])/(f*Sqrt[a*(1 + Sec[e + f*x])]*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2
]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)
/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)
/2]^2)*((3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e +
f*x)/2]^2)^(1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]])/(Sqrt[2]*(3*AppellF1[1/2, -1/2
+ n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, T
an[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) - (3*Sqrt[2]*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Sin[e +
f*x]*Tan[(e + f*x)/2])/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(
-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2
, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*Sqrt[2]*n*AppellF1[1
/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e
+ f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/2]^2)/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2,
Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2
, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2
])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*Sqrt[2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sq
rt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/2]*(-1/3*((1 - n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + ((-1/2 + n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[
(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n
, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x
)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*Sqrt[2]*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*
x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e
+ f*x)/2]*((2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2
*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f
*x)/2] + 3*(-1/3*((1 - n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e
+ f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + ((-1/2 + n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f
*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3) + Tan[(e + f*x)/2]^2*(2*(-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2,
-1/2 + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(-1
/2 + n)*AppellF1[5/2, 1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e
+ f*x)/2])/5) + (-1 + 2*n)*((-3*(1 - n)*AppellF1[5/2, 1/2 + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/
2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(1/2 + n)*AppellF1[5/2, 3/2 + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2
]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Ta
n[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*
Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(
e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^n*Tan[(e + f*x)/2]*Tan[e + f*x])/(Sqrt[2]*Sqrt[1 + Sec[e +
f*x]]*(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3
/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n,
5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)) + (3*Sqrt[2]*n*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 -
n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Cos[e + f*x]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[
e + f*x])^(-1 + n)*Sqrt[1 + Sec[e + f*x]]*Tan[(e + f*x)/2]*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)/2])
+ Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*AppellF1[1/2, -1/2 + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -T
an[(e + f*x)/2]^2] + (2*(-1 + n)*AppellF1[3/2, -1/2 + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]
+ (-1 + 2*n)*AppellF1[3/2, 1/2 + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2))
)

Maple [F]

\[\int \frac {\left (d \sec \left (f x +e \right )\right )^{n}}{\sqrt {a +a \sec \left (f x +e \right )}}d x\]

[In]

int((d*sec(f*x+e))^n/(a+a*sec(f*x+e))^(1/2),x)

[Out]

int((d*sec(f*x+e))^n/(a+a*sec(f*x+e))^(1/2),x)

Fricas [F]

\[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=\int { \frac {\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt {a \sec \left (f x + e\right ) + a}} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(a+a*sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d*sec(f*x + e))^n/sqrt(a*sec(f*x + e) + a), x)

Sympy [F]

\[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=\int \frac {\left (d \sec {\left (e + f x \right )}\right )^{n}}{\sqrt {a \left (\sec {\left (e + f x \right )} + 1\right )}}\, dx \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))**n/(a+a*sec(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral((d*sec(e + f*x))**n/sqrt(a*(sec(e + f*x) + 1)), x)

Maxima [F]

\[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=\int { \frac {\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt {a \sec \left (f x + e\right ) + a}} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(a+a*sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*sec(f*x + e))^n/sqrt(a*sec(f*x + e) + a), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=\int { \frac {\left (d \sec \left (f x + e\right )\right )^{n}}{\sqrt {a \sec \left (f x + e\right ) + a}} \,d x } \]

[In]

integrate((d*sec(f*x+e))^n/(a+a*sec(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*sec(f*x + e))^n/sqrt(a*sec(f*x + e) + a), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {(d \sec (e+f x))^n}{\sqrt {a+a \sec (e+f x)}} \, dx=\int \frac {{\left (\frac {d}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^n}{\sqrt {a+\frac {a}{\cos \left (e+f\,x\right )}}} \,d x \]

[In]

int((d/cos(e + f*x))^n/(a + a/cos(e + f*x))^(1/2),x)

[Out]

int((d/cos(e + f*x))^n/(a + a/cos(e + f*x))^(1/2), x)